TEMA # 1: LA PARABOLA

“El Que No Conoce La Matemática Muere Sin Conocer La Verdad Científica”. Schelbach.


LA PARÁBOLA

En esta sección del trabajo presentaremos una de las cónicas, la cual recibe el nombre de Parábola.

En el desarrollo del tema encontraran una serie de problemas, en donde algunos están resueltos y otros propuestos sólo como conocimientos y análisis. Además describimos algunas aplicaciones de la parábola en nuestro medio geográfico.
También deduciremos la ecuación y presentaremos las formas que tiene la parábola.


CONSTRUCCIÓN DE LAS PARÁBOLAS

Por Doblado de Papel

La parábola la estudiaremos inicialmente con el doblado de papel:

1. Tracemos un segmento de recta LL’. (Preferiblemente a la izquierda de la hoja).
2. Doblemos la hoja, de forma tal que coincidan los extremos del segmento.
3. Trace una línea “S” sobre el dobles, esta línea es perpendicular al segmento inicial.
4. Marque un punto F sobre la línea “S”. (no tome el punto muy lejos de LL’).
5. Marque un punto de LL’ y doble el papel de forma que este punto coincida con el punto F.
6. Repita el paso anterior tomando diferentes puntos a lo largo de LL’. (entre más puntos de LL’ tome, mejor se apreciará la figura)
7. Observe la figura que se forma.

Utilizando Regla y Compás.

1. Tracemos un segmento de recta LL’. (preferiblemente a la izquierda de la hoja).
2. Trace una perpendicular “S” a LL’.(el punto de corte de las perpendiculares llámelo O)
3. Marque un punto F sobre “S”.
4. Tome el compás y haga una abertura igual a la mitad de la distancia OF, y situando el pivote del compás sobre “o” marque sobre la recta “S” la distancia obtenida.
5. Abrimos el compás con una abertura mayor a la anterior, colocamos el pivote en “O” y marcamos en donde corta LL’. (no mueva la abertura del compás)
6. Colocamos ahora el pivote del compás en los puntos marcados en LL’ y trazamos un arco de circunferencia.(Todavía no cambie la abertura del compás)
7. Trasladamos el pivote a “F” y trazamos un arco de circunferencia que intercepta a los que se hicieron anteriormente. Resalte estos puntos.
8. Repita el procedimiento 5,6,7, hasta que se obtenga una gran cantidad de puntos.(6-10)
9. Una los puntos que resalto y observe la figura que se forma.




APLICACIONES


Para demostrar la aplicación que tiene la parábola en nuestro medio de vida les presentaremos los siguientes problemas de aplicación.

Problemas de aplicación número 1



Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 pulgadas y su altura máxima es de 15 pulgadas es colocado en un eje de coordenadas en donde 2 de los puntos por donde pasa la parábola es (-7,0) y (7,0) respectivamente, y el V (7,15) ¿Hallar la ecuación de dicho arco parabólico?

Otras Aplicaciones

Parábola: Un cuerpo lanzado con cualquier inclinación describe una trayectoria parabólica. Pero es el centro de gravedad de que recorre la parábola, no el cuerpo.




Se llega al caso extremo de una granada que estalla en el aire: el centro de gravedad de los trozos de metralla sigue, imperturbable, una curva parabólica determinada ya en el instante del disparo.

La parábola tiene la siguiente propiedad de reflexión:
Cuenta Plutarco que Arquímedes fue capaz de incendiar las naves de los romanos, que asediaban la ciudad de Siracusa, utilizando unos espejos móviles parabólicos llamados Ustorios o quemantes.
Estos espejos son superficies engendradas por el giro de una parábola alrededor de su eje.

Todo consiste en orientar el eje hacia el sol.
Cuando la nave avanza y corta el plano sol- eje, hasta girar el espejo hasta que foco y nave se encuentren.
En esta misma propiedad se basan las antenas de los radiotelescopios, que orientan el eje hacia la fuente de radiación concentrándola en el foco.
Los faros de los coches utilizan el mismo principio, pero a la inversa.
He aquí cómo puede trazarse una parábola utilizando circunferencias concéntricas en el foco, y rectas paralelas a la directriz.


DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA



FORMAS DE LA PARÁBOLA







PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de las parábolas siguientes:
a) foco(3,0) directriz x + 3 = 0
b) foco(0,6) directriz el eje x.
c) Vértice el origen, eje el de coordenadas x, y que pase por (3,-6)

2. Hallar la ecuación de la parábola de vértice(2,-3) y foco(1,3)

3. Dada las parábolas siguientes. Calcular a) las coordenadas del vértice, b) las coordenadas del foco. c) la longitud del lado recto. d) la ecuación de la directriz.
1) x2 – 4y + 6x –8 = 0
2) 3x2 – 9x – 5y – 2 = 0
3) y2 – 4y –6x + 13 = 0

4. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x y pase por los puntos (3,3) (6,5) y (6,-3)

5. V(3,-1) F(8,-1)
6. V(7,0) ecuación de la directriz y + 8 = 0
7. V(-2,4) F(2,4)
8. F(0,- ) , ecuación de la directriz 3y + 7 =0
9. V(-5,-1) F(-5,-7)
10. F(-3, ) , ecuación de la directriz 5y + 28 =0
11. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje “x” y su lado recta mide 10. (dos respuestas).
12. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje “x”, y pasa por (3,2)
13. Determine la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo a “y” su vértice es el punto (-3,5), y pasa por el punto (-1,6).
14. Transforma las ecuaciones de las siguientes parábolas a su forma ordinaria. A partir de ésta, determina: el vértice, foco y ecuación de la directriz.
a) y2 – 8x + 2y – 7 =0 b) x2 – 8y –32 =0 c) 5x2 – 10x + 120y – 67 =0
d) y2 – 8x =0 e) y2 + 4x – 4y – 8 = 0 f) x2 + 12x – 32y + 36 =0
g) 4y2 + 96x + 12y + 489= 0 h) 45y2 – 252x –60y + 1784 =0

15. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos dados.
a) (-3,0) (3,0) (0,5) eje paralelo a y. b) (0,0) (-1,3) (4,4) eje paralelo a x
c) (4,-2) (1,4) (-1,3) eje paralelo a y. d) (1,5) (-2,3) (-1,-4) eje paralelo a y.
e) ((0,2) (3,5) (2,-6) eje paralelo a x.





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